[Math] I just realized the power of binomial model

วันนี้ตอนเรียนคอมพิวเตอร์เน็ตเวิร์กก็มีการคำนวณโอกาสที่จะมีการส่งข้อมูลสำเร็จใน slot ต่อไป (คือมีคนส่งแค่หนึ่งคนเท่านั้น) ตอนเพื่อนมาถามแล้วมันไม่เข้าใจ เราก็พยายามอธิบายมัน และเราก็พบว่างานแบบนี้ใช้ binomial มาสร้างเป็นโมเดลของเหตุการณ์จะง่ายมาก
เช่นในที่นี้มี โหนดที่ต้องการส่งข้อมูลอีก N โหนด และแต่ละโหนดมีความน่าจะเป็นที่จะส่งข้อมูลใน slot ถัดไป p อยากรู้ความน่าจะเป็นที่จะมีการส่งข้อมูลสำเร็จในสล็อตถัดไป

ลักษณะนี้เนื่องจากเป็นการตัดสินใจของแต่ละโหนดที่เป็นอิสระต่อกัน และแต่ละโหนดเลือกวิธีการได้สองแบบเท่านั้น คือ ส่ง และ ไม่ส่ง ดังนั้นเราจึงสามารถแจกแจงความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ทั้งหมดเป็น (p + (1-p))^N
แต่ถ้าเราต้องการเฉพาะตัวที่บ่งชี้ความสำเร็จก็จะพบว่า มันคือพจน์ที่ค่า p มีเลขชี้กำลังเป็นหนึ่งและค่า (1-p) มีเลขชี้กำลังเป็น N-1 นั่นเอง ซึ่งเมื่อกระจายไบโนเมียลออกมาก็จะพบว่าพจน์นั้นมีค่าเป็น N * p * (1-p)^N-1 คือมีสัมประสิทธิ์เป็น N

ยัง ความเยี่ยมของมันไม่ได้หยุดที่การเป็นไบโนเมียล เพราะเรายังสามารถขยายโมเดลเป็นโพลีโนเมียลได้อีกด้วย ไม่ว่าแต่ละเอนติตี้จะมีเหตุการณ์ที่เป็นไปได้กี่แบบก็ตาม หากแต่ละเอนติตี้นั้นเป็นอิสระต่อกัน ยังไงเราก็จะใช้โพลีโนเมียลมาโมเดลเป็นหาได้เสมอ เหลือแต่เพียงว่า นั่นเป็นวิธีที่เหมาะสมแล้วหรือไม่

หมายเหตุ ตอนอธิบายเพื่อนมันก็ยังไม่เข้าใจอยู่ดี แถมยังบอกว่าเราผิดอีก เหอเหอ ซวยจริงๆเรา อุตส่าห์หารูปแบบที่ general ที่สุดมาอธิบาย แถมยังจะแสดงเปรียบเทียบกับการโยนเหรียญ มันดันไม่รับฟังอีก สงสัยคอนเซ็บนี้จะดูผิดธรรมชาติเกินไป เพราะว่าเราเองก็รู้จักมันมาประมาณสิบปีแล้ว พึ่งจะมองเห็นความทรงพลังของมันก็วันนี้แหละ